Terminologi

...Og så minusser jeg \(x\) med \(y\)...

NEJ - du ved godt selv hvad du mener, men ingen andre mennesker kan forstå hvad du siger, hvis ikke du bruger det sprog, som vi indbyrdes har aftalt. Når man har matematiktime i skolen, så betyder det jo ikke at man ikke kan snakke dansk længere. 

Når man skal kommunikere matematik på et stykke papir, er det jo overvældende simpelt at formulere sig. Man skriver \(x-y\), og alle ved præcis hvad man mener. Hvis man derimod forlanger en verbal formulering, så kikser det hele pludseligt. Så er det, at \(x\) er minusset med \(y\), og at jeg har ganget \(p\) på \(q\).
Det lyder måske ikke som en voldsom problematik, men det kan blive til et problem hvis ikke elever bliver bedre til at "snakke matematik".

Det er en vigtigt evne, at kunne kommunikere tal og logiske operatorer frem og tilbage mellem mennesker, også uden at man behøver at skrive hvert tegn ned. Det er også meget vigtigt at den kommunikation er præcis - ellers ender vi jo med en generation der ikke forstår hvad skattefradrag er, eller hvordan de skal regne deres månedsløn ud, og heller ikke kan lære de, fordi de ikke forstår matematisk terminologi. Nedenfor følger en lille og simpel liste over hvordan man kan formulere sig, når man skal forklare noget matematik for nogen.

\(a+b\)
Addition. At addere. Jeg lægger \(a\) og \(b\) sammen. Jeg adderer \(a\) og \(b\)

\(a-b\)
Subtraktion. At subtrahere. Jeg trækker \(b\) fra \(a\). Jeg subtraherer \(b\) fra \(a\).

\(a \cdot b\)
Multiplikation. At multiplicere. Jeg ganger \(a\) og \(b\) sammen. Jeg ganger \(a\) med \(b\). Jeg multiplicerer \(a\) med \(b\).

\(\frac{a}{b}\) eller \(a \div b\)
Division. At dividere. Jeg deler \(a\) med \(b\). Jeg dividerer \(a\) med \(b\).


Jeg tilføjer løbende flere ting til listen, hvis der er nogen der har et forslag, så smid en kommentar! Hvis der er nogen der er uenige, så smid også en kommentar.

Vinkler

Der er nogle små nemme regler der gælder når man regner med vinkler, og de står bare på en liste her, så man kan slå op hvis man lige glemmer det.

Begreber:

• Ret vinkel - en vinkel på præcis \(90^\circ \) - En ret vinkel markeres med en lille firkant i hjørnet, således: 

• Spids vinkel - en vinkel der er mindre end \(90^\circ \)
• Stump vinkel - en vinkel der er større end  \(90^\circ \)

Herunder følger sætninger der vedrører vinkler:

Forskellige figurer kan deles op i et antal grader. 

fig. 1

Som det ses i figur 1 er der fire gange \(90^\circ \) i en cirkel, så i det hele er der  \(360^\circ \) i en cirkel.

fig. 2

På figur 2 ses det at der er fire gange \(90^\circ \) i rektanglet, i det hele altså \(360^\circ \)

fig. 3

På figur 3 ses det at man kan dele en femkant op i tre trekanter. Vi ved at vinkelsummen i en trekant er \(180^\circ \), og tre gange dette bliver til \(540^\circ \)






Der findes bevis for at man kan finde vinkelsummen i en regulær \(n\)-kant, hvor \(n \geq 3\) ved formlen \((n-2)*180^\circ\)


Beviset er et induktionsbevis, en type bevis som der kommer et indlæg om på et andet tidspunkt. Beviset følger:

Vi beviser ved induktion at vinkelsummen i en \(n\)-kant, hvor \(n \geq 3\) findes ved \((n-2)*180^\circ\)
For \(n=3\) kender vi vinkelsummen, nemlig \(180^\circ\)

Antag nu, at vinkelsummen i en \(n\)-kant er \((n-2)*180^\circ\). Betragt så en \(n+1\) kant, altså en figur der har en side mere end \(n\)-kanten. Den kan opdeles i en trekant og en \(n\)-kant, se figur 4.

fig. 4

Overvej at det altid kan lade sig gøre, uanset hvilket \(n\) man bruger.

Vinkelsummen i hele figuren bliver derved \((n-2)*180^\circ+180^\circ\).



Vi skal nu redegøre for, at \((n-2)*180^\circ+180^\circ = ((n+1)-2)*180^\circ\) (Hvis det går for hurtigt, så stop og tænk dig om.)

Vi omskriver \(((n+1)-2)*180^\circ\) til \((n-1)*180^\circ\)

Det næste trin er lidt svært, da det handler om at indse noget. Vi skal indse, at \[(n-2)*180^\circ+180^\circ = (n-1)*180^\circ\]
Dette burde være forklaring nok:
\[(x+1)*180^\circ = x*180^\circ+180^\circ\]

Hvis ikke, så skriv en kommentar, og jeg lover at forbedre forklaringen. Matematikken er god nok, men ikke nem at forstå i første omgang.

Ungdomsskole Matematikhold

Hej Matematik talenthold!

Det her er jeres område af bloggen, det er her I skal skrive hvis I vil have hjælp med lektierne, hvis I har forslag til noget vi skal gennemgå i en undervisningstime, eller hvis I endda har tænkt over noget som ellers mangler her på bloggen - Det gælder både emner, indlæg, værktøjer og hvad I ellers kan komme i tanker om. Skriv en kommentar på dette indlæg, så reagerer jeg så snart jeg har tid til det.

Jeg skriver løbende her på siden. I får info omkring hvad vi skal lære om næste gang, og hvis I får lidt lektie for, så skriver jeg det også her.

Jeg håber at I vil bruge bloggen, da jeg tror den kan være rigtig meget til gavn for jer og andre hvis I vil være med til at bygge den op.


Når I har matematik i skolen, så arbejder de frem mod at I skal opfylde nogle krav, som regering og andre har fastsat. I kan se disse krav her på bloggen: Trinmål når I går ud af niende klasse
Hvis I synes at der er nogle ting på den liste som I gerne vil gennemgå eller have hjælp til at forstå, så skriv også en kommentar under indlægget her.


Undervisning d. 21.:
Undskylder den sene postering. Vi arbejder med jeres lektier, og hvis der bliver tid laver vi lidt matematik på papir. Tag hæfterne med.

Lektier til d. 21.:
Jeg forventer at I til d. 14. har skrevet 3 spørgsmål til mig om matematik, som I gerne vil have svar på. Skriv dem i jeres hæfte, eller på computeren, men sørg for at I tager dem med til næste gang.
Derudover vil jeg se i jeres hæfte løsningen på denne ligning:
\[6x^2+12x=20\]
I skal ikke tro at den kan løses i hovedet, I skal derimod bruge den artikel der står på bloggen om andengradsligninger. Læs det, forstå det, løs ligningen. Held og lykke! :)

Andengradsligningen / Andengradspolynomium

*Hvis du bare vil have formlerne, og ikke læse, så gå til bunden af indlægget*

Et andengradspolynomium, eller andengradsligning, er et polynomium hvori den ukendte variabel står i 2. potens.

Vi ved godt hvordan man løser en ligning almindeligvis, men hvis man prøver det på en 2. grads ligning er der ingen garanti for succes. Hvis du læser her, så har du nok allerede prøvet på at flytte variabler og konstanter rundt og manipulere på forskellige kreative måder med ligningen. Det kan være ganske frustrererende.

For at løse 2. grads ligningen med succes, skal man benytte sig af sin viden omkring d, diskriminanten. Det hjælper også at have en idé om hvad de forskellige ting betyder i ligningen, samt hvordan den vil se ud i et koordinatsystem.

Vi vil kun arbejde med ligninger af typen \(P_2(x)=ax^2+bx+c , a \ne 0\)
Hvor \(P_2(x)\)  er en funktion af variablen x, og a,b,og c er konstanter (reelle konstanter). Hvis a er lig med 0, så er det ikke et andengradspolynomium mere - find evt. selv ud af hvorfor. Fremover vil vi kalde den ovenfornævnte sammenhæng for et andengradspolynomium.

Når man bruger et graftegningsprogram (et godt program er Graph), til at tegne en repræsentation af andengradspolynomiet, vil der vise sig en parabel med et toppunkt der er enten et minimum eller et maksimum for funktionen.
Kig op på forskriften igen, og se her til højre hvilken effekt det har, når man ændrer på de forskellige koefficienter.
c har betydning for placeringen af grafen på y aksen - hvis b er 0, så er c præcis skæringen med y aksen. b er kompliceret at beskrive, men se til højre, eller eksperimenter lidt i eget grafprogram. a har betydning for hældningen på parabelens grene, og for hvorvidt disse grene peger opad eller nedad.

Et andengradspolynomium med en positiv koefficient a er et glad andengradspolynomium, som smiler. Altså hvis a er positiv, så peger grenene opad. Et andengradspolynomium med en negativ koefficient er et trist andengradspolynomium, med mundvigene nedad, altså peger grenene nedad.

Der gælder om andengradsligningen, at der findes et tal \(d\) eller \(D\) (diskriminanten), \(d = b^2-4ac\)
Dette tal beskriver antallet af skæringer med x aksen, altså hvor mange gange \(f(x)=0\).

• Hvis \(d>0\) Så har andengradsligningen to løsninger, og andengradspolynomiet har to skæringer med x aksen. 
• Hvis \(d=0\) Så har andengradsligningen en enkelt løsning, og andengradspolynomiet har en tangering med x aksen, hvor den lige dypper ned og rører ved aksen, uden at skære den. 
• Hvis \(d<0\) Så har andengradsligningen ingen løsninger, og andengradspolynomiet har ingen skæringer med x aksen. 

I fald at diskriminanten ikke er mindre end 0, findes Rødder/Løsninger til andengradsligningen \(ax^2 + bx + c = 0\) hvor a ikke er lig med nul:


Til ovenstående formel findes der naturligvis bevis, som følger her:

Bevis for at 

• løsningen til andengradsligningen \(ax^2 +bx + c =0\) hvor a ikke er lig med nul findes ved \(x=\frac{-b \pm \sqrt{d}}{2a}\)
• hvis \(d=0\) så findes der en løsning til ligningen givet ved \(\frac{-b}{2a}\)

• hvis \(d<0\) så findes der ingen løsning til ligningen:

Vi starter med andengradsligningen:
\[ax^2 + bx + c = 0\]
Vi ganger med 4a på begge sider af lighedstegnet:
\[4a^2 \cdot x^2 + 4a \cdot bx + 4a \cdot c = 0\]
Vi lægger \(b^2\) til, og trækker det fra igen med det samme (I beviser gør vi nogen gange noget lidt mærkeligt, bare fordi det virker):
\[4a^2 \cdot x^2 + 4a \cdot bx + b^2 - b^2 + 4a \cdot c = 0\]
Vi faktoriserer nu en del af udtrykket, og ender med:
\[(2ax+ b)^2 - b^2 + 4a \cdot c = 0\]
Hvis trinnet ovenfor ikke er forstået, så prøv at gange parantesen ud, og se hvad du får (husk at \((a+b)^2=a^2+b^2+2ab\))
Herefter lægger vi \(b^2-4ac\) til på begge sider af lighedstegnet:
\[(2ax+b)^2 = b^2 - 4ac\]
Og kalder \(b^2 - 4ac\) for diskriminanten \(d\)
\[(2ax+b)^2 = d\]

Hvis \(x^2=k\), så findes der for denne andengradsligning to løsninger; \(x= \pm \sqrt{k}\)
Derfor kan vi løse den generelle andengradsligning således:
\[(2ax+b)^2=d\Leftrightarrow2ax+b=\pm\sqrt{d}\]
Vi trækker \(b\) fra på begge sider: 
\[2ax=-b\pm\sqrt{d}\]
Vi dividerer på begge sider med \(2a\):
\[x=\frac{-b\pm\sqrt{d}}{2a}\]
Og dermed har vi vist det første vi ville, nemlig hvordan andengradsligningen løses når \(d\) er positiv. Hvis \(d=0\), kan løsningen skrives simplere: \[x=\frac{-b\pm\sqrt{0}}{2a}\Leftrightarrow x=\frac{-b}{2a}\]


For \(d<0\) findes der ingen løsning til ligningen. Hvis vi kigger på løsningen så springer det straks i øjnene at hvis \(d\) er negativ, så skulle man tage kvadratroden af et negativt tal. Dette er ikke muligt indenfor de reelle tals mængde, så det kan ikke løses.


Grafen for et andengradspolynomium er symmetrisk omkring linjen med ligningen \(x=\frac{-b}{2a}\). Polynomiets skæring med denne linje er toppunktet for polynomiet.

Toppunkt for andengradspolynomiet \(ax^2 + bx + c = 0\) hvor a ikke er lig med nul: