Andengradsligningen / Andengradspolynomium

*Hvis du bare vil have formlerne, og ikke læse, så gå til bunden af indlægget*

Et andengradspolynomium, eller andengradsligning, er et polynomium hvori den ukendte variabel står i 2. potens.

Vi ved godt hvordan man løser en ligning almindeligvis, men hvis man prøver det på en 2. grads ligning er der ingen garanti for succes. Hvis du læser her, så har du nok allerede prøvet på at flytte variabler og konstanter rundt og manipulere på forskellige kreative måder med ligningen. Det kan være ganske frustrererende.

For at løse 2. grads ligningen med succes, skal man benytte sig af sin viden omkring d, diskriminanten. Det hjælper også at have en idé om hvad de forskellige ting betyder i ligningen, samt hvordan den vil se ud i et koordinatsystem.

Vi vil kun arbejde med ligninger af typen $P_2(x)=ax^2+bx+c , a \ne 0$
Hvor $P_2(x)$  er en funktion af variablen x, og a,b,og c er konstanter (reelle konstanter). Hvis a er lig med 0, så er det ikke et andengradspolynomium mere - find evt. selv ud af hvorfor. Fremover vil vi kalde den ovenfornævnte sammenhæng for et andengradspolynomium.

Når man bruger et graftegningsprogram (et godt program er Graph), til at tegne en repræsentation af andengradspolynomiet, vil der vise sig en parabel med et toppunkt der er enten et minimum eller et maksimum for funktionen.
Kig op på forskriften igen, og se her til højre hvilken effekt det har, når man ændrer på de forskellige koefficienter.
c har betydning for placeringen af grafen på y aksen - hvis b er 0, så er c præcis skæringen med y aksen. b er kompliceret at beskrive, men se til højre, eller eksperimenter lidt i eget grafprogram. a har betydning for hældningen på parabelens grene, og for hvorvidt disse grene peger opad eller nedad.

Et andengradspolynomium med en positiv koefficient a er et glad andengradspolynomium, som smiler. Altså hvis a er positiv, så peger grenene opad. Et andengradspolynomium med en negativ koefficient er et trist andengradspolynomium, med mundvigene nedad, altså peger grenene nedad.

Der gælder om andengradsligningen, at der findes et tal $d$ eller $D$ (diskriminanten), $d = b^2-4ac$
Dette tal beskriver antallet af skæringer med x aksen, altså hvor mange gange $f(x)=0$.

• Hvis $d>0$ Så har andengradsligningen to løsninger, og andengradspolynomiet har to skæringer med x aksen. 
• Hvis $d=0$ Så har andengradsligningen en enkelt løsning, og andengradspolynomiet har en tangering med x aksen, hvor den lige dypper ned og rører ved aksen, uden at skære den. 
• Hvis $d<0$ Så har andengradsligningen ingen løsninger, og andengradspolynomiet har ingen skæringer med x aksen. 

I fald at diskriminanten ikke er mindre end 0, findes Rødder/Løsninger til andengradsligningen $ax^2 + bx + c = 0$ hvor a ikke er lig med nul:


Til ovenstående formel findes der naturligvis bevis, som følger her:

Bevis for at 

• løsningen til andengradsligningen $ax^2 +bx + c =0$ hvor a ikke er lig med nul findes ved $x=\frac{-b \pm \sqrt{d}}{2a}$
• hvis $d=0$ så findes der en løsning til ligningen givet ved $\frac{-b}{2a}$

• hvis $d<0$ så findes der ingen løsning til ligningen:

Vi starter med andengradsligningen:
$$ax^2 + bx + c = 0$$
Vi ganger med 4a på begge sider af lighedstegnet:
$$4a^2 \cdot x^2 + 4a \cdot bx + 4a \cdot c = 0$$
Vi lægger $b^2$ til, og trækker det fra igen med det samme (I beviser gør vi nogen gange noget lidt mærkeligt, bare fordi det virker):
$$4a^2 \cdot x^2 + 4a \cdot bx + b^2 - b^2 + 4a \cdot c = 0$$
Vi faktoriserer nu en del af udtrykket, og ender med:
$$(2ax+ b)^2 - b^2 + 4a \cdot c = 0$$
Hvis trinnet ovenfor ikke er forstået, så prøv at gange parantesen ud, og se hvad du får (husk at $(a+b)^2=a^2+b^2+2ab$)
Herefter lægger vi $b^2-4ac$ til på begge sider af lighedstegnet:
$$(2ax+b)^2 = b^2 - 4ac$$
Og kalder $b^2 - 4ac$ for diskriminanten $d$
$$(2ax+b)^2 = d$$

Hvis $x^2=k$, så findes der for denne andengradsligning to løsninger; \(x= \pm \sqrt{k}\)
Derfor kan vi løse den generelle andengradsligning således:
$$(2ax+b)^2=d\Leftrightarrow2ax+b=\pm\sqrt{d}$$
Vi trækker $b$ fra på begge sider: 
$$2ax=-b\pm\sqrt{d}$$
Vi dividerer på begge sider med $2a$:
$$x=\frac{-b\pm\sqrt{d}}{2a}$$
Og dermed har vi vist det første vi ville, nemlig hvordan andengradsligningen løses når $d$ er positiv. Hvis $d=0$, kan løsningen skrives simplere: $$x=\frac{-b\pm\sqrt{0}}{2a}\Leftrightarrow x=\frac{-b}{2a}$$


For $d<0$ findes der ingen løsning til ligningen. Hvis vi kigger på løsningen så springer det straks i øjnene at hvis $d$ er negativ, så skulle man tage kvadratroden af et negativt tal. Dette er ikke muligt indenfor de reelle tals mængde, så det kan ikke løses.


Grafen for et andengradspolynomium er symmetrisk omkring linjen med ligningen $x=\frac{-b}{2a}$. Polynomiets skæring med denne linje er toppunktet for polynomiet.

Toppunkt for andengradspolynomiet $ax^2 + bx + c = 0$ hvor a ikke er lig med nul: