Terminologi

...Og så minusser jeg \(x\) med \(y\)...

NEJ - du ved godt selv hvad du mener, men ingen andre mennesker kan forstå hvad du siger, hvis ikke du bruger det sprog, som vi indbyrdes har aftalt. Når man har matematiktime i skolen, så betyder det jo ikke at man ikke kan snakke dansk længere. 

Når man skal kommunikere matematik på et stykke papir, er det jo overvældende simpelt at formulere sig. Man skriver \(x-y\), og alle ved præcis hvad man mener. Hvis man derimod forlanger en verbal formulering, så kikser det hele pludseligt. Så er det, at \(x\) er minusset med \(y\), og at jeg har ganget \(p\) på \(q\).
Det lyder måske ikke som en voldsom problematik, men det kan blive til et problem hvis ikke elever bliver bedre til at "snakke matematik".

Det er en vigtigt evne, at kunne kommunikere tal og logiske operatorer frem og tilbage mellem mennesker, også uden at man behøver at skrive hvert tegn ned. Det er også meget vigtigt at den kommunikation er præcis - ellers ender vi jo med en generation der ikke forstår hvad skattefradrag er, eller hvordan de skal regne deres månedsløn ud, og heller ikke kan lære de, fordi de ikke forstår matematisk terminologi. Nedenfor følger en lille og simpel liste over hvordan man kan formulere sig, når man skal forklare noget matematik for nogen.

\(a+b\)
Addition. At addere. Jeg lægger \(a\) og \(b\) sammen. Jeg adderer \(a\) og \(b\)

\(a-b\)
Subtraktion. At subtrahere. Jeg trækker \(b\) fra \(a\). Jeg subtraherer \(b\) fra \(a\).

\(a \cdot b\)
Multiplikation. At multiplicere. Jeg ganger \(a\) og \(b\) sammen. Jeg ganger \(a\) med \(b\). Jeg multiplicerer \(a\) med \(b\).

\(\frac{a}{b}\) eller \(a \div b\)
Division. At dividere. Jeg deler \(a\) med \(b\). Jeg dividerer \(a\) med \(b\).


Jeg tilføjer løbende flere ting til listen, hvis der er nogen der har et forslag, så smid en kommentar! Hvis der er nogen der er uenige, så smid også en kommentar.

Vinkler

Der er nogle små nemme regler der gælder når man regner med vinkler, og de står bare på en liste her, så man kan slå op hvis man lige glemmer det.

Begreber:

• Ret vinkel - en vinkel på præcis \(90^\circ \) - En ret vinkel markeres med en lille firkant i hjørnet, således: 

• Spids vinkel - en vinkel der er mindre end \(90^\circ \)
• Stump vinkel - en vinkel der er større end  \(90^\circ \)

Herunder følger sætninger der vedrører vinkler:

Forskellige figurer kan deles op i et antal grader. 

fig. 1

Som det ses i figur 1 er der fire gange \(90^\circ \) i en cirkel, så i det hele er der  \(360^\circ \) i en cirkel.

fig. 2

På figur 2 ses det at der er fire gange \(90^\circ \) i rektanglet, i det hele altså \(360^\circ \)

fig. 3

På figur 3 ses det at man kan dele en femkant op i tre trekanter. Vi ved at vinkelsummen i en trekant er \(180^\circ \), og tre gange dette bliver til \(540^\circ \)






Der findes bevis for at man kan finde vinkelsummen i en regulær \(n\)-kant, hvor \(n \geq 3\) ved formlen \((n-2)*180^\circ\)


Beviset er et induktionsbevis, en type bevis som der kommer et indlæg om på et andet tidspunkt. Beviset følger:

Vi beviser ved induktion at vinkelsummen i en \(n\)-kant, hvor \(n \geq 3\) findes ved \((n-2)*180^\circ\)
For \(n=3\) kender vi vinkelsummen, nemlig \(180^\circ\)

Antag nu, at vinkelsummen i en \(n\)-kant er \((n-2)*180^\circ\). Betragt så en \(n+1\) kant, altså en figur der har en side mere end \(n\)-kanten. Den kan opdeles i en trekant og en \(n\)-kant, se figur 4.

fig. 4

Overvej at det altid kan lade sig gøre, uanset hvilket \(n\) man bruger.

Vinkelsummen i hele figuren bliver derved \((n-2)*180^\circ+180^\circ\).



Vi skal nu redegøre for, at \((n-2)*180^\circ+180^\circ = ((n+1)-2)*180^\circ\) (Hvis det går for hurtigt, så stop og tænk dig om.)

Vi omskriver \(((n+1)-2)*180^\circ\) til \((n-1)*180^\circ\)

Det næste trin er lidt svært, da det handler om at indse noget. Vi skal indse, at \[(n-2)*180^\circ+180^\circ = (n-1)*180^\circ\]
Dette burde være forklaring nok:
\[(x+1)*180^\circ = x*180^\circ+180^\circ\]

Hvis ikke, så skriv en kommentar, og jeg lover at forbedre forklaringen. Matematikken er god nok, men ikke nem at forstå i første omgang.

Ungdomsskole Matematikhold

Hej Matematik talenthold!

Det her er jeres område af bloggen, det er her I skal skrive hvis I vil have hjælp med lektierne, hvis I har forslag til noget vi skal gennemgå i en undervisningstime, eller hvis I endda har tænkt over noget som ellers mangler her på bloggen - Det gælder både emner, indlæg, værktøjer og hvad I ellers kan komme i tanker om. Skriv en kommentar på dette indlæg, så reagerer jeg så snart jeg har tid til det.

Jeg skriver løbende her på siden. I får info omkring hvad vi skal lære om næste gang, og hvis I får lidt lektie for, så skriver jeg det også her.

Jeg håber at I vil bruge bloggen, da jeg tror den kan være rigtig meget til gavn for jer og andre hvis I vil være med til at bygge den op.


Når I har matematik i skolen, så arbejder de frem mod at I skal opfylde nogle krav, som regering og andre har fastsat. I kan se disse krav her på bloggen: Trinmål når I går ud af niende klasse
Hvis I synes at der er nogle ting på den liste som I gerne vil gennemgå eller have hjælp til at forstå, så skriv også en kommentar under indlægget her.


Undervisning d. 21.:
Undskylder den sene postering. Vi arbejder med jeres lektier, og hvis der bliver tid laver vi lidt matematik på papir. Tag hæfterne med.

Lektier til d. 21.:
Jeg forventer at I til d. 14. har skrevet 3 spørgsmål til mig om matematik, som I gerne vil have svar på. Skriv dem i jeres hæfte, eller på computeren, men sørg for at I tager dem med til næste gang.
Derudover vil jeg se i jeres hæfte løsningen på denne ligning:
\[6x^2+12x=20\]
I skal ikke tro at den kan løses i hovedet, I skal derimod bruge den artikel der står på bloggen om andengradsligninger. Læs det, forstå det, løs ligningen. Held og lykke! :)

Andengradsligningen / Andengradspolynomium

*Hvis du bare vil have formlerne, og ikke læse, så gå til bunden af indlægget*

Et andengradspolynomium, eller andengradsligning, er et polynomium hvori den ukendte variabel står i 2. potens.

Vi ved godt hvordan man løser en ligning almindeligvis, men hvis man prøver det på en 2. grads ligning er der ingen garanti for succes. Hvis du læser her, så har du nok allerede prøvet på at flytte variabler og konstanter rundt og manipulere på forskellige kreative måder med ligningen. Det kan være ganske frustrererende.

For at løse 2. grads ligningen med succes, skal man benytte sig af sin viden omkring d, diskriminanten. Det hjælper også at have en idé om hvad de forskellige ting betyder i ligningen, samt hvordan den vil se ud i et koordinatsystem.

Vi vil kun arbejde med ligninger af typen \(P_2(x)=ax^2+bx+c , a \ne 0\)
Hvor \(P_2(x)\)  er en funktion af variablen x, og a,b,og c er konstanter (reelle konstanter). Hvis a er lig med 0, så er det ikke et andengradspolynomium mere - find evt. selv ud af hvorfor. Fremover vil vi kalde den ovenfornævnte sammenhæng for et andengradspolynomium.

Når man bruger et graftegningsprogram (et godt program er Graph), til at tegne en repræsentation af andengradspolynomiet, vil der vise sig en parabel med et toppunkt der er enten et minimum eller et maksimum for funktionen.
Kig op på forskriften igen, og se her til højre hvilken effekt det har, når man ændrer på de forskellige koefficienter.
c har betydning for placeringen af grafen på y aksen - hvis b er 0, så er c præcis skæringen med y aksen. b er kompliceret at beskrive, men se til højre, eller eksperimenter lidt i eget grafprogram. a har betydning for hældningen på parabelens grene, og for hvorvidt disse grene peger opad eller nedad.

Et andengradspolynomium med en positiv koefficient a er et glad andengradspolynomium, som smiler. Altså hvis a er positiv, så peger grenene opad. Et andengradspolynomium med en negativ koefficient er et trist andengradspolynomium, med mundvigene nedad, altså peger grenene nedad.

Der gælder om andengradsligningen, at der findes et tal \(d\) eller \(D\) (diskriminanten), \(d = b^2-4ac\)
Dette tal beskriver antallet af skæringer med x aksen, altså hvor mange gange \(f(x)=0\).

• Hvis \(d>0\) Så har andengradsligningen to løsninger, og andengradspolynomiet har to skæringer med x aksen. 
• Hvis \(d=0\) Så har andengradsligningen en enkelt løsning, og andengradspolynomiet har en tangering med x aksen, hvor den lige dypper ned og rører ved aksen, uden at skære den. 
• Hvis \(d<0\) Så har andengradsligningen ingen løsninger, og andengradspolynomiet har ingen skæringer med x aksen. 

I fald at diskriminanten ikke er mindre end 0, findes Rødder/Løsninger til andengradsligningen \(ax^2 + bx + c = 0\) hvor a ikke er lig med nul:


Til ovenstående formel findes der naturligvis bevis, som følger her:

Bevis for at 

• løsningen til andengradsligningen \(ax^2 +bx + c =0\) hvor a ikke er lig med nul findes ved \(x=\frac{-b \pm \sqrt{d}}{2a}\)
• hvis \(d=0\) så findes der en løsning til ligningen givet ved \(\frac{-b}{2a}\)

• hvis \(d<0\) så findes der ingen løsning til ligningen:

Vi starter med andengradsligningen:
\[ax^2 + bx + c = 0\]
Vi ganger med 4a på begge sider af lighedstegnet:
\[4a^2 \cdot x^2 + 4a \cdot bx + 4a \cdot c = 0\]
Vi lægger \(b^2\) til, og trækker det fra igen med det samme (I beviser gør vi nogen gange noget lidt mærkeligt, bare fordi det virker):
\[4a^2 \cdot x^2 + 4a \cdot bx + b^2 - b^2 + 4a \cdot c = 0\]
Vi faktoriserer nu en del af udtrykket, og ender med:
\[(2ax+ b)^2 - b^2 + 4a \cdot c = 0\]
Hvis trinnet ovenfor ikke er forstået, så prøv at gange parantesen ud, og se hvad du får (husk at \((a+b)^2=a^2+b^2+2ab\))
Herefter lægger vi \(b^2-4ac\) til på begge sider af lighedstegnet:
\[(2ax+b)^2 = b^2 - 4ac\]
Og kalder \(b^2 - 4ac\) for diskriminanten \(d\)
\[(2ax+b)^2 = d\]

Hvis \(x^2=k\), så findes der for denne andengradsligning to løsninger; \(x= \pm \sqrt{k}\)
Derfor kan vi løse den generelle andengradsligning således:
\[(2ax+b)^2=d\Leftrightarrow2ax+b=\pm\sqrt{d}\]
Vi trækker \(b\) fra på begge sider: 
\[2ax=-b\pm\sqrt{d}\]
Vi dividerer på begge sider med \(2a\):
\[x=\frac{-b\pm\sqrt{d}}{2a}\]
Og dermed har vi vist det første vi ville, nemlig hvordan andengradsligningen løses når \(d\) er positiv. Hvis \(d=0\), kan løsningen skrives simplere: \[x=\frac{-b\pm\sqrt{0}}{2a}\Leftrightarrow x=\frac{-b}{2a}\]


For \(d<0\) findes der ingen løsning til ligningen. Hvis vi kigger på løsningen så springer det straks i øjnene at hvis \(d\) er negativ, så skulle man tage kvadratroden af et negativt tal. Dette er ikke muligt indenfor de reelle tals mængde, så det kan ikke løses.


Grafen for et andengradspolynomium er symmetrisk omkring linjen med ligningen \(x=\frac{-b}{2a}\). Polynomiets skæring med denne linje er toppunktet for polynomiet.

Toppunkt for andengradspolynomiet \(ax^2 + bx + c = 0\) hvor a ikke er lig med nul:

Plus og minus med alle hele tal (også selv om det er minus tal )

Vi har allerede set hvordan vi kan plusse og minusse med tal større end nul, og det er nemt nok hvis man holder til positive tal, men hvad så hvis man skal plusse eller minusse med et tal der er nul, eller mindre end nul? I virkeligheden er det ret ligetil. Tallene er arrangeret lineært, således:

 

Mange er nok allerede klar over det, men lad os lige fastslå at hvis man tager noget som helst og plusser med 0, så giver det det helt samme som før;    6 + 0 = 6 | 3 + 0 = 3 | 0 + 0 = 0 | 0 + 4 = 0.

Hvis man kigger på tallinjen ovenfor, så kan man måske allerede se hvordan det fungerer med at lægge til og trække fra, og at det fungerer selv om man går forbi nulgrænsen. Eksempelvis kan vi prøve at starte ved minus seks, og lægge to til et par gange:    -6 + 2 = -4 | -4 + 2 = -2 | -2 + 2 = 0 | 0 + 2 = 2.

Sammenholdt med tallinjen skulle det være forståeligt nok. I dette eksempel var det imidlertid lidt nemt, idet vi landede direkte på nul på vejen. Det bliver måske lidt sværere hvis man skal hen over nulgrænsen uden at berøre den. Vi prøver:    -5 + 2 = -3 | -3 + 2 = -1 | -1 + 2 = 1 | 1 + 2 = 3.

Hvis det slår knuder på hjernen, så prøv bare at tælle efter, og se om ikke det passer. Prøv om du kan klare det selv med -4 som start, eller ved at sige + 3 for hvert skridt.

Når man så kan køre den ene vej, altså regne plusstykker selv om man starter under nul, kan man så også regne den anden vej, med minusstykker der starter over nul og slutter under nul? JA, det kan man bestemt!

Ligesom vi prøvede med plusstykkerne, kan vi nu prøve at starte ved 6, og trække 

2 fra indtil vi kommer under nul;    6 - 2 = 4 | 4 - 2 = 2 | 2 - 2 = 0 | 0 - 2 = -2.

Igen lander vi direkte på nul, hvilket letter overgangen fra plus til minus, så vi 

prøver at starte ved 5 i stedet:   5 - 2 = 3 | 3 - 2 = 1 | 1 - 2 = -1.

Igen, hvis det får øjnene til at koge, så kig tilbage på tallinjen, og se om ikke det hænger sammen.

Så nemt er det altså at regne med negative tal!

//Seruvious

Plus og minus med hele positive tal.

Addition/At plusse, er det, som vi allerførst lærer i matematikkens verden. Fra man er ganske lille er man i stand til at skelne mellem 1, 2, eller 3 stykker legetøj. Udøveren er ganske vist ikke klar over, at det hedder matematik, eller hvad det kan bruges til, men det er helt tydeligt at se, at hvis man selv har to legetøjsbiler, og den lille pige henne ved vinduet også har en bil, så er der en mulighed for at man selv kan få hele TRE biler. Hvis du er i tvivl, så kan du jo gå ned i børnehaven og observere!

Man finder imidlertid ud af, når man kommer i skole, at der er et fag der hedder matematik, og at læreren kan finde på at sætte alle i gang med at "plusse", i en hele time, eller to hvis børnene opfører sig dårligt!
Men hvad er det egentlig for noget, det der plus? Plus er et matematisk begreb eller værktøj, der kan hjælpe os med at finde et ukendt samlet antal ud fra andre kendte antal. Det lyder måske lidt svært, men det er ikke så slemt.
For eksempel, så kan man betragte en kurv med tre æbler, og en kurv med to æbler. De to kendte antal er 2 og 3. Det ukendte antal er det samlede antal æbler (som vi nemt finder ud af er 5).

Vi kan skrive det NÆSTEN matematisk, således: 

Udtrykt matematisk siger vi så 3 + 2 = 5

Subtraktion/At trække fra eller "minusse", er den modsatte handling af addition/plus. I stedet for at man finder ud af hvor meget to grupper giver tilsammen, finder man ud af hvor meget der er tilbage, hvis man fjerner en del af et antal. Vi prøver igen med æblerne:

Eller, på matematik-sprog, 5 - 3 = 2




Det var så den halvhurtige gennemgang af plus og minus for begyndere!

Husk at skrive en kommentar hvis der er forslag til ting der kan skrives/formuleres bedre, eller ting der skal tilføjes!

//Seruvious

Trinmål for matematikfaget efter 9. klasse

Matematiske kompetencer

Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til at

• skelne mellem definitioner og sætninger, mellem enkelttilfælde og generaliseringer og anvende denne indsigt til at udforske og indgå i dialog om forskellige matematiske begrebers rækkevidde og begrænsning (tankegangskompetence)
• opstille, afgrænse og løse både rent faglige og anvendelsesorienterede matematiske problemer og vurdere løsningerne, bl.a. med henblik på at generalisere resultater (problembehandlingskompetence)
• opstille, behandle, afkode, analysere og forholde sig kritisk til modeller, der gengiver træk fra virkeligheden, bl.a. ved hjælp af regneudtryk, tegning, diagrammer, ligninger, funktioner og formler (modelleringskompetence)
• udtænke, gennemføre, forstå og vurdere mundtlige og skriftlige matematiske ræsonnementer og arbejde med enkle beviser (ræsonnementskompetence)
• afkode, bruge og vælge hensigtsmæssigt mellem forskellige repræsentationsformer og kunne se deres indbyrdes forbindelser (repræsentationskompetence)
• forstå og benytte variable og symboler, bl.a. når regler og sammenhænge skal vises, samt oversætte mellem dagligsprog og symbolsprog (symbolbehandlingskompetence)
• indgå i dialog samt udtrykke sig mundtligt og skriftligt om matematikholdige anliggender på forskellige måder og med en vis faglig præcision, samt fortolke andres matematiske kommunikation (kommunikationskompetence)
• kende forskellige hjælpemidler, herunder it, og deres muligheder og begrænsninger, samt anvende dem hensigtsmæssigt, bl.a. til eksperimenterende udforskning af matematiske sammenhænge, til beregninger og til præsentationer (hjælpemiddelkompetence).

Matematiske emner

Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til
i arbejdet med tal og algebra at

• kende de reelle tal og anvende dem i praktiske og teoretiske sammenhænge
• arbejde med talfølger og forandringer med henblik på at undersøge, systematisere og generalisere
• regne med brøker, bl.a. i forbindelse med løsning af ligninger og algebraiske problemer
• forstå og anvende procentbegrebet
• kende regningsarternes hierarki samt begrunde og anvende regneregler
• forstå og anvende formler og matematiske udtryk, hvori der indgår variable
• anvende funktioner til at beskrive sammenhænge og forandringer
• arbejde med funktioner i forskellige repræsentationer
• løse ligninger og enkle ligningssystemer og ved inspektion løse enkle uligheder
• bestemme løsninger til ligninger og ligningssystemer grafisk

i arbejdet med geometri at

• kende og anvende forskellige geometriske figurers egenskaber
• fremstille skitser og tegninger efter givne forudsætninger
• benytte grundlæggende geometriske begreber, herunder størrelsesforhold og linjers indbyrdes beliggenhed
• undersøge, beskrive og vurdere sammenhænge mellem tegning (model) og tegnet objekt
• kende og anvende målestoksforhold, ligedannethed og kongruens
• kende og anvende målingsbegrebet, herunder måling og beregning i forbindelse med omkreds, flade og rum
• udføre enkle geometriske beregninger, bl.a. ved hjælp af Pythagoras’ sætning
• arbejde undersøgende med enkel trigonometri i forbindelse med retvinklede trekanter og beregne sider og vinkler
• arbejde med enkle geometriske argumenter og beviser
• bruge it til tegning, undersøgelser, beregninger og ræsonnementer vedrørende geometriske figurer
• arbejde med koordinatsystemet og forstå sammenhængen mellem tal og geometri
• gengive algebraiske sammenhænge i geometrisk repræsentation

i arbejdet med statistik og sandsynlighed at

• anvende statistiske begreber til beskrivelse, analyse og fortolkning af data tilrettelægge og gennemføre enkle statistiske undersøgelser
• læse, forstå og vurdere anvendelsen af statistik og sandsynlighed i forskellige medier
• udføre og tolke eksperimenter, hvori tilfældighed og chance indgår
• forbinde sandsynlighed med tal vha. statistik, enkle kombinatoriske overvejelser og simple modeller.

Matematik i anvendelse

Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til at

• arbejde med problemstillinger vedrørende dagligdagen, bl.a. i forbindelse med privatøkonomi, bolig og transport
• behandle eksempler på problemstillinger knyttet til den samfundsmæssige udvikling, hvori bl.a. økonomi, teknologi og miljø indgår
• anvende faglige redskaber og begreber, bl.a. procentberegninger, formler og funktioner som værktøj til løsning af praktiske problemer
• udføre simuleringer, bl.a. ved hjælp af it
• erkende matematikkens muligheder og begrænsninger om beskrivelsesmiddel og beslutningsgrundlag.

Matematiske arbejdsmåder

Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til at

• deltage i udvikling af strategier og metoder med støtte i bl.a. it
• undersøge, systematisere og ræsonnere med henblik på at generalisere
• veksle mellem praktiske og teoretiske overvejelser ved løsningen af matematiske problemstillinger
• læse faglige tekster samt forstå og forholde sig til informationer, som indeholder matematikfaglige udtryk
• forberede og gennemføre mundtlige og skriftlige præsentationer af eget arbejde med matematik, bl.a. med inddragelse af it
• arbejde individuelt og sammen med andre om praktiske og teoretiske problemstillinger, bl.a. i projektorienterede forløb
• arbejde individuelt og sammen med andre om problemløsning i mundtligt og skriftligt arbejde
• give respons til andre i arbejdet med matematik, bl.a. ved at spørge aktivt.