fredag den 19. august 2011

Plus og minus med alle hele tal (også selv om det er minus tal )

0 kommentarer
Vi har allerede set hvordan vi kan plusse og minusse med tal større end nul, og det er nemt nok hvis man holder til positive tal, men hvad så hvis man skal plusse eller minusse med et tal der er nul, eller mindre end nul? I virkeligheden er det ret ligetil. Tallene er arrangeret lineært, således:

 

Mange er nok allerede klar over det, men lad os lige fastslå at hvis man tager noget som helst og plusser med 0, så giver det det helt samme som før;    6 + 0 = 6 | 3 + 0 = 3 | 0 + 0 = 0 | 0 + 4 = 0.

Hvis man kigger på tallinjen ovenfor, så kan man måske allerede se hvordan det fungerer med at lægge til og trække fra, og at det fungerer selv om man går forbi nulgrænsen. Eksempelvis kan vi prøve at starte ved minus seks, og lægge to til et par gange:    -6 + 2 = -4 | -4 + 2 = -2 | -2 + 2 = 0 | 0 + 2 = 2.
Sammenholdt med tallinjen skulle det være forståeligt nok. I dette eksempel var det imidlertid lidt nemt, idet vi landede direkte på nul på vejen. Det bliver måske lidt sværere hvis man skal hen over nulgrænsen uden at berøre den. Vi prøver:    -5 + 2 = -3 | -3 + 2 = -1 | -1 + 2 = 1 | 1 + 2 = 3.
Hvis det slår knuder på hjernen, så prøv bare at tælle efter, og se om ikke det passer. Prøv om du kan klare det selv med -4 som start, eller ved at sige + 3 for hvert skridt.

Når man så kan køre den ene vej, altså regne plusstykker selv om man starter under nul, kan man så også regne den anden vej, med minusstykker der starter over nul og slutter under nul? JA, det kan man bestemt!

Ligesom vi prøvede med plusstykkerne, kan vi nu prøve at starte ved 6, og trække 
2 fra indtil vi kommer under nul;    6 - 2 = 4 | 4 - 2 = 2 | 2 - 2 = 0 | 0 - 2 = -2.
Igen lander vi direkte på nul, hvilket letter overgangen fra plus til minus, så vi 
prøver at starte ved 5 i stedet:   5 - 2 = 3 | 3 - 2 = 1 | 1 - 2 = -1.

Igen, hvis det får øjnene til at koge, så kig tilbage på tallinjen, og se om ikke det hænger sammen.

Så nemt er det altså at regne med negative tal!

//Seruvious

Plus og minus med hele positive tal.

0 kommentarer
Addition/At plusse, er det, som vi allerførst lærer i matematikkens verden. Fra man er ganske lille er man i stand til at skelne mellem 1, 2, eller 3 stykker legetøj. Udøveren er ganske vist ikke klar over, at det hedder matematik, eller hvad det kan bruges til, men det er helt tydeligt at se, at hvis man selv har to legetøjsbiler, og den lille pige henne ved vinduet også har en bil, så er der en mulighed for at man selv kan få hele TRE biler. Hvis du er i tvivl, så kan du jo gå ned i børnehaven og observere!

Man finder imidlertid ud af, når man kommer i skole, at der er et fag der hedder matematik, og at læreren kan finde på at sætte alle i gang med at "plusse", i en hele time, eller to hvis børnene opfører sig dårligt!
Men hvad er det egentlig for noget, det der plus? Plus er et matematisk begreb eller værktøj, der kan hjælpe os med at finde et ukendt samlet antal ud fra andre kendte antal. Det lyder måske lidt svært, men det er ikke så slemt.
For eksempel, så kan man betragte en kurv med tre æbler, og en kurv med to æbler. De to kendte antal er 2 og 3. Det ukendte antal er det samlede antal æbler (som vi nemt finder ud af er 5).

Vi kan skrive det NÆSTEN matematisk, således: 



Udtrykt matematisk siger vi så 3 + 2 = 5

Subtraktion/At trække fra eller "minusse", er den modsatte handling af addition/plus. I stedet for at man finder ud af hvor meget to grupper giver tilsammen, finder man ud af hvor meget der er tilbage, hvis man fjerner en del af et antal. Vi prøver igen med æblerne:


Eller, på matematik-sprog, 5 - 3 = 2




Det var så den halvhurtige gennemgang af plus og minus for begyndere!

Husk at skrive en kommentar hvis der er forslag til ting der kan skrives/formuleres bedre, eller ting der skal tilføjes!

//Seruvious

torsdag den 7. juli 2011

Trinmål for matematikfaget efter 9. klasse

0 kommentarer
Matematiske kompetencer
Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til at
  • skelne mellem definitioner og sætninger, mellem enkelttilfælde og generaliseringer og anvende denne indsigt til at udforske og indgå i dialog om forskellige matematiske begrebers rækkevidde og begrænsning (tankegangskompetence)
  • opstille, afgrænse og løse både rent faglige og anvendelsesorienterede matematiske problemer og vurdere løsningerne, bl.a. med henblik på at generalisere resultater (problembehandlingskompetence)
  • opstille, behandle, afkode, analysere og forholde sig kritisk til modeller, der gengiver træk fra virkeligheden, bl.a. ved hjælp af regneudtryk, tegning, diagrammer, ligninger, funktioner og formler (modelleringskompetence)
  • udtænke, gennemføre, forstå og vurdere mundtlige og skriftlige matematiske ræsonnementer og arbejde med enkle beviser (ræsonnementskompetence)
  • afkode, bruge og vælge hensigtsmæssigt mellem forskellige repræsentationsformer og kunne se deres indbyrdes forbindelser (repræsentationskompetence)
  • forstå og benytte variable og symboler, bl.a. når regler og sammenhænge skal vises, samt oversætte mellem dagligsprog og symbolsprog (symbolbehandlingskompetence)
  • indgå i dialog samt udtrykke sig mundtligt og skriftligt om matematikholdige anliggender på forskellige måder og med en vis faglig præcision, samt fortolke andres matematiske kommunikation (kommunikationskompetence)
  • kende forskellige hjælpemidler, herunder it, og deres muligheder og begrænsninger, samt anvende dem hensigtsmæssigt, bl.a. til eksperimenterende udforskning af matematiske sammenhænge, til beregninger og til præsentationer (hjælpemiddelkompetence).

Matematiske emner
Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til
i arbejdet med tal og algebra at

  • kende de reelle tal og anvende dem i praktiske og teoretiske sammenhænge
  • arbejde med talfølger og forandringer med henblik på at undersøge, systematisere og generalisere
  • regne med brøker, bl.a. i forbindelse med løsning af ligninger og algebraiske problemer
  • forstå og anvende procentbegrebet
  • kende regningsarternes hierarki samt begrunde og anvende regneregler
  • forstå og anvende formler og matematiske udtryk, hvori der indgår variable
  • anvende funktioner til at beskrive sammenhænge og forandringer
  • arbejde med funktioner i forskellige repræsentationer
  • løse ligninger og enkle ligningssystemer og ved inspektion løse enkle uligheder
  • bestemme løsninger til ligninger og ligningssystemer grafisk
i arbejdet med geometri at

  • kende og anvende forskellige geometriske figurers egenskaber
  • fremstille skitser og tegninger efter givne forudsætninger
  • benytte grundlæggende geometriske begreber, herunder størrelsesforhold og linjers indbyrdes beliggenhed
  • undersøge, beskrive og vurdere sammenhænge mellem tegning (model) og tegnet objekt
  • kende og anvende målestoksforhold, ligedannethed og kongruens
  • kende og anvende målingsbegrebet, herunder måling og beregning i forbindelse med omkreds, flade og rum
  • udføre enkle geometriske beregninger, bl.a. ved hjælp af Pythagoras’ sætning
  • arbejde undersøgende med enkel trigonometri i forbindelse med retvinklede trekanter og beregne sider og vinkler
  • arbejde med enkle geometriske argumenter og beviser
  • bruge it til tegning, undersøgelser, beregninger og ræsonnementer vedrørende geometriske figurer
  • arbejde med koordinatsystemet og forstå sammenhængen mellem tal og geometri
  • gengive algebraiske sammenhænge i geometrisk repræsentation
i arbejdet med statistik og sandsynlighed at
  • anvende statistiske begreber til beskrivelse, analyse og fortolkning af data tilrettelægge og gennemføre enkle statistiske undersøgelser
  • læse, forstå og vurdere anvendelsen af statistik og sandsynlighed i forskellige medier
  • udføre og tolke eksperimenter, hvori tilfældighed og chance indgår
  • forbinde sandsynlighed med tal vha. statistik, enkle kombinatoriske overvejelser og simple modeller.

Matematik i anvendelse
Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til at
  • arbejde med problemstillinger vedrørende dagligdagen, bl.a. i forbindelse med privatøkonomi, bolig og transport
  • behandle eksempler på problemstillinger knyttet til den samfundsmæssige udvikling, hvori bl.a. økonomi, teknologi og miljø indgår
  • anvende faglige redskaber og begreber, bl.a. procentberegninger, formler og funktioner som værktøj til løsning af praktiske problemer
  • udføre simuleringer, bl.a. ved hjælp af it
  • erkende matematikkens muligheder og begrænsninger om beskrivelsesmiddel og beslutningsgrundlag.

Matematiske arbejdsmåder
Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til at
  • deltage i udvikling af strategier og metoder med støtte i bl.a. it
  • undersøge, systematisere og ræsonnere med henblik på at generalisere
  • veksle mellem praktiske og teoretiske overvejelser ved løsningen af matematiske problemstillinger
  • læse faglige tekster samt forstå og forholde sig til informationer, som indeholder matematikfaglige udtryk
  • forberede og gennemføre mundtlige og skriftlige præsentationer af eget arbejde med matematik, bl.a. med inddragelse af it
  • arbejde individuelt og sammen med andre om praktiske og teoretiske problemstillinger, bl.a. i projektorienterede forløb
  • arbejde individuelt og sammen med andre om problemløsning i mundtligt og skriftligt arbejde
  • give respons til andre i arbejdet med matematik, bl.a. ved at spørge aktivt.

Trinmål for matematikfaget efter 6. klasse

0 kommentarer
Matematiske kompetencer
Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til at
  • formulere sig skriftligt og mundtligt om matematiske påstande og spørgsmål og have blik for hvilke typer af svar, der kan forventes (tankegangskompetence)
  • løse matematiske problemer knyttet til en kontekst, der giver mulighed for intuitiv tænkning, egne repræsentationer og erhvervet matematisk viden og kunnen (problembehandlingskompetence)
  • opstille, behandle, afkode og analysere enkle modeller, der gengiver træk fra virkeligheden, bl.a. ved hjælp af regneudtryk, tegninger, diagrammer (modelleringskompetence)
  • udtænke og gennemføre uformelle og enkle formelle matematiske ræsonnementer og følge mundtlige og enkle skriftlige argumenter (ræsonnementskompetence)
  • bruge uformelle og formelle repræsentationsformer og forstå deres indbyrdes forbindelser (repræsentationskompetence)
  • afkode og anvende matematiske symboler, herunder variable og enkle formler samt oversætte mellem dagligsprog og symbolsprog (symbolbehandlingskompetence)
  • sætte sig ind i og udtrykke sig såvel mundtligt som skriftligt om fremgangsmåder og løsninger i forbindelse med matematiske problemstillinger (kommunikationskompetence)
  • kende, vælge og anvende hensigtsmæssige hjælpemidler, herunder konkrete materialer, lommeregner og it, bl.a. til eksperimenterende udforskning af matematiske sammenhænge (hjælpemiddelkompetence).
Matematiske emner
Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til
i arbejdet med tal og algebra at
  • kende til de rationale tal
  • kende tallenes ordning, tallinjen og titalssystemet
  • undersøge og systematisere i forbindelse med arbejdet med talfølger og figurrækker
  • deltage i udvikling af metoder til multiplikation og division på baggrund af egen forståelse
  • anvende de fire regningsarter til antalsbestemmelse ved hjælp af hovedregning, lommeregner, it og skriftlige beregninger
  • kende procentbegrebet og bruge enkel procentregning
  • anvende brøker, decimaltal og procent i praktiske sammenhænge
  • kende sammenhængen mellem brøker, decimaltal og procent
  • anvende regningsarternes hierarki
  • kende til eksempler på brug af variable, bl.a. i formler, enkle ligninger og funktioner
  • finde løsninger til enkle ligninger ved uformelle metoder
  • kende til koordinatsystemet, herunder sammenhængen mellem tal og tegning
 i arbejdet med geometri at
  • benytte geometriske metoder og begreber til beskrivelse af fysiske objekter fra dagligdagen
  • undersøge og konstruere enkle figurer i planen
  • kende grundlæggende geometriske begreber som linjer, vinkler, polygoner og cirkler
  • spejle, dreje og parallelforskyde, bl.a. i forbindelse med arbejdet med mønstre
  • arbejde med tredimensionelle modeller og enkle tegninger af disse
  • arbejde med enkle eksempler på målestoksforhold og ligedannethed i forbindelse med tegning
  • undersøge metoder til beregning af omkreds, areal og rumfang i konkrete situationer
  • bruge it til at undersøge og konstruere geometriske figurer
  • arbejde med koordinatsystemet og opnå en begyndende forståelse for sammenhængen mellem tal og geometri
  • forbinde tal og regning med geometriske repræsentationer
i arbejdet med statistik og sandsynlighed at
  • indsamle, behandle og formidle data, bl.a. i tabeller og diagrammer
  • gennemføre enkle statistiske undersøgelser
  • læse, beskrive og tolke data og informationer i tabeller og diagrammer
  • udføre eksperimenter, hvori tilfældighed og chance indgår.
Matematik i anvendelse
Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til at
  • arbejde med enkle problemstillinger fra dagligdagen, det nære samfundsliv og naturen
  • anvende faglige redskaber og begreber, bl.a. beregningsmetoder, enkle procentberegninger og grafisk afbildning til løsningen af praktiske problemer
  • se matematikkens muligheder og begrænsninger som beskrivelsesmiddel.
Matematiske arbejdsmåder
Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til at
  • deltage i udvikling af metoder med støtte i bl.a. skriftlige notater og illustrationer
  • undersøge, systematisere og begrunde matematisk med mulighed for inddragelse af konkrete materialer og andre repræsentationer samt ved brug af it
  • læse enkle faglige tekster samt anvende og forstå informationer, som indeholder matematikfaglige udtryk
  • forberede og gennemføre mindre præsentationer af eget arbejde med matematik
  • arbejde individuelt og sammen med andre om praktiske og teoretiske problemstillinger, problemløsning samt øvelser
  • arbejde med problemløsning i en proces, hvor andres forskellige forudsætninger og ideer inddrages.
 

Trinmål for matematikfaget efter 3. klasse

0 kommentarer
Matematiske kompetencer
Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til at
  • indgå i dialog om spørgsmål og svar, som er karakteristiske i arbejdet med matematik (tankegangskompetence)
  • løse matematiske problemer knyttet til en kontekst, der giver mulighed for intuitiv tænkning, inddragelse af konkrete materialer eller egne repræsentationer (problembehandlingskompetence)
  • opstille, behandle og afkode enkle modeller, der gengiver træk fra virkeligheden, bl.a. vha. regneudtryk, tegninger og diagrammer (modelleringskompetence)
  • ræsonnere og argumentere intuitivt om konkrete matematiske aktiviteter og følge andres mundtlige argumenter (ræsonnementskompetence)
  • bruge uformelle repræsentationsformer sammen med symbolsprog og arbejde med deres indbyrdes forbindelser (repræsentationskompetence)
  • afkode og anvende enkle matematiske symboler, herunder tal og regnetegn, samt forbinde dem med dagligdags sprog (symbolbehandlingskompetence)
  • udtrykke sig og indgå i dialog om enkle matematiske problemstillinger (kommunikationskompetence)
  • kende og anvende hensigtsmæssige hjælpemidler, herunder konkrete materialer, lommeregner og it, bl.a. til eksperimenterende udforskning af matematiske sammenhænge (hjælpemiddelkompetence).
Matematiske emner
Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til
i arbejdet med tal og algebra at
  • kende de naturlige tals opbygning og ordning, herunder titalssystemet
  • bruge tælleremser og arbejde med talfølger og figurrækker
  • deltage i udvikling af metoder til addition og subtraktion på baggrund af egen forståelse
  • bestemme antal ved hjælp af addition, subtraktion samt enkel multiplikation og division inden for de naturlige tal
  • løse konkrete problemer ved hjælp af hovedregning, lommeregner, it og enkle skriftlige beregninger
  • kende eksempler på brug af decimaltal og enkle brøker fra hverdagssituationer
i arbejdet med geometri at
  • tale om dagligdags ting og billeder i et uformelt geometrisk sprog med udgangspunkt i former, størrelser og beliggenhed
  • arbejde med enkle, konkrete modeller og gengive træk fra virkeligheden ved tegning
  • undersøge og beskrive mønstre, herunder symmetri
  • foretage enkel måling af afstand, flade, rum og vægt
  • undersøge og eksperimentere inden for geometri, bl.a. med brug af it og konkrete materialer
  • arbejde med sammenhænge mellem tal og geometri ved hjælp af tallinjen
  • forbinde tal og regning med geometriske repræsentationer og konkrete materialer
i arbejdet med statistik og sandsynlighed at
  • indsamle, ordne og behandle data
  • opnå erfaringer med tilfældighed og chance i eksperimenter og spil.
Matematik i anvendelse
Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til at
  • bruge matematik i relevante hverdagssituationer
  • vælge og benytte regningsart i forskellige praktiske sammenhænge
  • erhverve en begyndende forståelse for matematik som beskrivelsesmiddel.
Matematiske arbejdsmåder
Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til at
  • deltage i udvikling af metoder med støtte i bl.a. konkrete materialer og illustrationer
  • arbejde eksperimenterende og undersøgende med inddragelse af konkrete materialer
  • modtage, arbejde med og videregive enkle skriftlige og mundtlige informationer, som indeholder matematikfaglige udtryk
  • arbejde individuelt og sammen med andre om løsning af praktiske problemstillinger ogmatematiske opgaver
  • indgå i dialog om matematik, hvor elevernes forskellige ideer inddrages.
 
 

onsdag den 6. juli 2011

Bloggens formål

0 kommentarer
Jeg tænker at det kan betale sig lige at slå fast, både overfor mig selv og I læsere, hvad det egentlig er der skal komme ud af det her projekt. Jeg skrev noget i det første indlæg på denne blog, som jeg synes rammer meget præcist hvad det er der er sat i værk:

Jeg ønsker at skabe en komplet samling af formler, beviser og regneregler. Jeg ønsker også at betragte matematikken fra en mere filosofisk synsvinkel - formål, metode, anvendelse. Jeg nærer et håb om, at denne blog, eller i det mindste dens indhold, vil være til stor nytte for mange mennesker i fremtiden.
Da jeg sad og tænkte over hvad bloggen her skulle kunne, så noterede jeg også dette ned:
MatematikBloggen beskæftiger sig med matematik. MatematikBloggen skal fungere som online indeks over alle matematiske emner, lige fra 1. klasse til 3.g. Forhåbentlig vil mange kunne bruge den til at lære nyt eller genopfriske gammelt
Det vil jo sige, at når jeg er færdig med at skrive det sidste indlæg på denne blog (Om meget meget lang tid), så vil der være for det første, en eller flere formelsamlinger der dækker alt fra 1. klasse til 3.g. Der vil også være en samling af beviser, der nok mere eller mindre kun gælder i gymnasiet. Jeg vil også gerne gennemgå regneregler i detaljer, f.eks. ting som hvordan man behandler noget som (a + b)².
Derudover vil jeg meget gerne forsøge at se lidt på matematikkens historie, udvikling, formål, anvendelse, metode, og alt mulig andet spændende.

Bloggen er til for at hjælpe folk på alle niveauer, så det følger naturligt at jeg vil forsøge at skrive alting på et forståeligt sprog, sådan at det er til at komme i gang med, og selvfølgelig komme med uddybende forklaringer på alle de emner der kræver det. Det følger også at hvis der er nogle spørgsmål eller kommentarer, så tager jeg glad imod input, og forsøger at efterkomme ønsker.

Jeg håber at I kommer til at synes om det jeg får skrevet, og hygger jeg med at læse i det!

//Seruvious

tirsdag den 5. juli 2011

Matematikkens ophav - Tanken

0 kommentarer
Vi har oversigtsmæssigt set på tallenes udvikling gennem tiden, men det er kun en mindre portion af matematikken. En langt vigtigere del af matematikken er tanken og metoden; tallene skal jo have en anvendelse som matematisk værktøj, før de kan siges at høre til i matematikken.
Hvor kommer så den matematiske tankegang fra? Hvad er dens natur? Hvad er forskellen på matematik og simpel regning? Det vil jeg forsøge at besvare i de følgende afsnit.

Der kan siges at være to "typer" matematik, der har hver deres metoder og idéer:
  • Den rene matematik, som udgør en stor portion af matematikken, er som sådan ikke er skabt med anvendelse for øje. Den rene matematik arbejder med at beskrive abstrakte sammenhænge, f.eks. geometriske, mens den holder sig langt væk fra den fysiske verden. Det er når man beskæftiger sig med denne slags matematik, at nogle 8.-9. klasses elever skriger, "Ja, men hvad kan vi dog bruge det til!?". Til det kan der siges, at selv om den rene matematik ikke beskæftiger sig med virkeligheden, så viser den sig ofte at være yderst anvendelig, når blot den hjælpes lidt på vej; her kan vi inddrage den næste "type".
  • Den anvendte matematik arbejder med at tage den rene matematiks resultater, og benytte dem til at beskrive og forklare sammenhænge i den virkelige verden. Den anvendte matematik bringer den rene matematik i kontakt med omgivelserne, sådan at vi bedre kan se sammenhængen i mange situationer.

    Ren matematik - lineær sammenhæng
    Anvendt matematik - udvikling af bakterier i et rum med uendelig næring og plads.

    Ren matematik - Pythagoras' sætning
    Anvendt matematik - Højden af et træ, der er for højt til at måles med målebånd.

    Den anvendte matematik er som regel den matematik vi bruger når vi befinder os uden for et klasseværelse.

Den rene matematik arbejder rent fagligt med en metode, der hedder den aksiomatisk deduktive metode. Det lyder umiddelbart lidt avanceret, men det er egentlig temmelig simpelt:
Et aksiom er en sætning der antages at være sand. Det kan være så simpelt som "der findes en mængde hvori ingen elementer er medlem.". Det betyder lidt mildere formuleret, "der findes et tal, 0"
Deduktion er at udlede en konklusion ud fra nogle præmisser. f.eks. "Vi ved at der er en bold under en af disse to kopper. vi ved også at den ikke er under koppen til venstre. Bolden er under koppen til højre"

Den aksiomatisk deduktive metode består altså i at drage konklusioner ud fra en række aksiomer. Man kan betragte aksiomerne som det færdige systems DNA, fordi alle systemets beviser og regler bygger på den information man finder i aksiomerne.

Når man bevæger sig indenfor den rene matematiks grænser, så stilles der meget høje krav til den argumentation man bygger sine konklusioner på. Netop på grund af disse høje krav, viser det sig også at matematikken har en enorm holdbarhed (vi bruger jo stadig pythagoras' læresætning, selv 2,5 tusinde år efter den blev formuleret). Når en matematisk sætning er accepteret, så er det meget sjældent at denne bliver modbevist.

Ud over aksiomer og sætninger (sandheder bevist ud fra aksiomerne), er definitioner med til at formulere den rene matematik. En definition er ganske simpelt en aftale om hvordan man bruger fagsproget. Eksempelvis er et kvadrat defineret som en sammenhængende fire-sidet polygon med lige lange sider, der er parvis parallelle, og har rette vinkler mellem de sider der ikke er parallelle.

Når den rene matematik så er formuleret, kan man anvende den i forskellige sammenhænge til at beskrive virkeligheden med. Den rene matematiks komplicerede net af abstrakte sammenhænge bliver anvendt til at beskrive helt konkrete objekter, arealer, udviklinger osv.
Matematikeren siger at rektanglets areal er 40. Arkitekten siger at værelsets areal er 40 kvadratmeter.

Det var ganske kort en redegørelse for hvordan matematikkens tankesystem i ekstremt grove træk fungerer og udvikles. Herved ser vi også tydeligt hvad forskellen på matematik og simpel regning er; matematik fungerer i alle tilfælde, det er generelt, det er abstrakt, der er anvendeligt men ikke nødvendigvis anvendt! Regning er blot at konstatere at man har fire sten, og såfremt man tager to mere, så vil man have opnået en formue på seks sten.

Man kan længe debattere hvornår matematikken blev opfundet, eller om den i det hele taget blev opfundet (eller bare opdaget), eller om den er færdig med at blive opdaget/opfundet. Vi kan tage den tankerække baglæns og overveje nærmere.

  • Er matematikken færdig med at blive opdaget/opfundet?
    Nej, slet ikke. Der findes mange aspekter af matematikken der stadig forsøges låst op. For 111 år siden blev der af en komité formuleret 23 problemer, som matematikken endnu ikke havde bevist entydigt. I år 2000 fandt samme komité midlerne til at skabe en monetær fond af enorme proportioner, som så skulle udloves til de som kunne løse de 7 problemer af de oprindelige 23, som endnu ikke var løst (selv om man havde forsøgt i 100 år). Den udlovede belønning for en komplet løsning lyder den dag i dag på $1 million. Link: http://www.claymath.org/publications/Millennium_Problems/
  • Er matematikken opdaget eller opfundet?
    Det kan være svært at beslutte sig for hvordan man skal gribe sådan et spørgsmål an. Det er klart at nogle aspekter af matematikken i høj grad er opdaget. For eksempel kan det betragtes som en opdagelse at der findes en kommutativ lov (faktorers rækkefølge er ligegyldig) indenfor de reelle tal. På den anden side er det klart, at områder af matematikken som de komplekse tal er opfundet. De findes slet ikke i den virkelige verden, de er abstrakte begreber, som kan bruges som værktøjer til at opnå eller umulige resultater. Svaret må derfor være, at matematikken er både opdaget og opfundet. Under alle omstændigheder er det jo sandt at formuleringerne af matematikken er opfundet, de blev bestemt ikke opdaget!
  • Hvornår blev matematikken opfundet?
    Man har benyttet tal og regning lige så længe som man har haft kulturer, og altså næsten lige så længe som der har eksisteret mennesker. Spørgsmålet er i virkeligheden hvornår tal og regning blev erstattet af matematik som en disciplin i sig selv.
    De tidligst kendte matematiske skrifter skulle stamme fra oldtidens Egypten, og er fra så langt tilbage som 1800 f.kr. Dog er helt uafhængigt af den Egyptiske matematik blevet nedskrevet matematiske tekster i Mesopotamien og Kina.
    Den oldgræske matematik betragtes af mange som den første ægte matematik, da der i den oldgræske højkultur var mennesker der gjorde matematikken til deres hverv, og beskæftigede sig med at bygge det netværk af aksiomer, sætninger og definitioner, som vi i dag nævner når vi skal beskrive den rene matematik.
Dermed har vi kigget på det, som vi i starten aftalte at vi ville kigge på. Der er naturligvis mulighed for at gå meget mere i dybden med forskellige aspekter af ovenstående, og jeg skriver gerne et mere fyldestgørende indlæg omkring enkelte aspekter, hvis nogen ellers anmoder om et sådant indlæg!

//Seruvious

mandag den 4. juli 2011

Matematikkens ophav - Tallene

0 kommentarer
Matematikkens ophav er et emne der er ganske omfattende, og derfor vil det blive delt over flere indlæg. Først vil vi se på de simpleste elementer i matematikken, nemlig tallene.
Pythagoras sagde, "Tallene er alle tings væsen". Han selv og pythagoræerne mente at man ved at studere kosmos og beskrive dette med hele naturlige tal, kunne opnå sjælens frigørelse. Selv om vi i nutiden ikke ville sige det på helt samme måde, er det klart at tallene betyder ganske meget for vores forståelse af verden. Vi bruger tal til det meste, og vi er efterhånden så fortrolige med dem, at vi opfatter dem som en evig og naturlig størrelse. Denne opfattelse er faktisk ganske forkert.

Ideen om tallene er skabt af mennesket, der gennem årtusinder har forbedret regnekunsten. Det der i størst grad har drevet udviklingen af regnekunsten har været forskellige højkulturers forsøg på at forklare forskellige naturlige fænomener, men hvis vi kigger tilbage - helt tilbage - så er det klart hvorfor det blev nødvendigt med tal i deres forskellige former:
Den første type tal, der formentlig er blevet benyttet, er de naturlige tal, eller tælletallene. Tælletallene hedder sådan, fordi det er de tal man kan bruge til at tælle. Deres mængde udgøres af hele og positive tal. 
Det er klart, at oldtidens bondemand har haft et naturligt behov for at kunne formidle til andre hvor mange får han var i besiddelse af, og det kan han ved hjælp af et talsystem som de naturlige tal. 
De naturlige tal er stabile overfor addition og multiplikation på den måde forstået, at summen eller produktet af to naturlige tal altid ligger indenfor de naturlige tals mængde. Denne begrænsede stabilitet sikrer imidlertid ikke at alle regneoperationer kan finde sted indenfor de naturlige tal. F.eks. findes der ikke indenfor de naturlige tal en løsning til ligningen 5 + x = 3  da -2 ikke er en størrelse der hører til i de naturlige tals mængde. For at denne operation kan finde sted, må man udvide tallenes mængde, hvorved man får den næste talmængde: 

De Hele Tal udgøres af alle hele tal, både positive, negative og 0. Ved at udvide talsystemet sådan, bliver det muligt at løse alle ligninger af typen a + x = b. Denne talgruppe er altså fuldstændig stabil overfor addition (og deraf selvfølgelig subtraktion). Dog får man stadig voldsomt besvær ved nogle multiplikative problemstillinger; fire personer har delt tre kager, hvor meget fik hver person? Det kan man ikke svare på, i hvert fald ikke indenfor de hele tals mængde. Derfor følger det også helt logisk hvad der må forventes af næste talsystem: Det skal være stabilt overfor multiplikation!

Den næste udvidelse, de rationale tal, dækker over alle de tal der kan skrives som en brøk med et helt tal som både tæller og nævner. Med denne udvidelse er det muligt at løse alle ligninger af formen a * x = b, såfremt vi aftaler at a ikke er 0. Næsten alle praktiske regneopgaver kan løses indenfor de rationale tal, og computere, lommeregnere og deslige benytter sig kun af en lille del af rationale tal, nemlig de tal der kan skrives som en decimalbrøk med et endeligt antal betydende cifre. 

De reelle tal, den sidste almenkendte udvidelse af talsystemet, udgøres af alle tal på tallinjen, også de såkaldte irrationelle tal, altså de tal som ikke kan skrives som en brøk (pi, kvadratrod to, fi...) . Dermed har vi fyldt hele tallinjen ud, og man skulle ikke tro at der var plads til flere tal.
    For at kunne løse alle ligninger hvor x i anden = a  må det være nødvendigt at arbejde indenfor de reelle tal, for  eksempel når man skal løse ligningen x i anden = 2.

Man fristes til at tro, at når man har udfyldt hele tallinien, så er man færdig med at opdage nye tal, men dette er langt fra sandt. Dog har jeg i bloggens formål udtalt at den skal beskæftige sig med materiale til og med 3.g (A niveau), og de næste udvidelser ligger udenfor dette område. Hvis der er interesse for det (Hvis nogen beder om det i kommentarerne), kan jeg godt skrive et tillæg til denne post, der omhandler de komplekse tal.


Næste gang du sidder og regner opgaver igennem, så kan du jo prøve at overveje hvilken talmængde du benytter dig af! Klarer du dig med de hele tal, eller de rationale tal, eller arbejder du oppe i de reelle tals sfære?


//Seruvious

søndag den 3. juli 2011

Sidestart

0 kommentarer
Hej Verden,

Klokken er 02:58 tidlig søndag morgen, og jeg er ved at skrive det første indlæg på MatematikBloggen. Matematikbloggens første indlæg kommer til at handle om formålet med bloggen.
Jeg ønsker at skabe en komplet samling af formler, beviser og regneregler. Jeg ønsker også at betragte matematikken fra en mere filosofisk synsvinkel - formål, metode, anvendelse. Jeg nærer et håb om, at denne blog, eller i det mindste dens indhold, vil være til stor nytte for mange mennesker i fremtiden.

Så snart jeg finder tid til det, kommer der et indlæg, som formentlig vil behandle et filosofisk aspekt af matematikken, nemlig dens ophav. (Før vi kan begynde at forstå et emne, må vi nødvendigvis først forstå hvilken eksistensberettigelse emnet har)

//Seruvious
 

MatematikBloggen. Copyright 2008 All Rights Reserved Revolution Two Church theme by Brian Gardner Converted into Blogger Template by Bloganol dot com