Matematikkens ophav er et emne der er ganske omfattende, og derfor vil det blive delt over flere indlæg. Først vil vi se på de simpleste elementer i matematikken, nemlig tallene.
Pythagoras sagde, "Tallene er alle tings væsen". Han selv og pythagoræerne mente at man ved at studere kosmos og beskrive dette med hele naturlige tal, kunne opnå sjælens frigørelse. Selv om vi i nutiden ikke ville sige det på helt samme måde, er det klart at tallene betyder ganske meget for vores forståelse af verden. Vi bruger tal til det meste, og vi er efterhånden så fortrolige med dem, at vi opfatter dem som en evig og naturlig størrelse. Denne opfattelse er faktisk ganske forkert.
Ideen om tallene er skabt af mennesket, der gennem årtusinder har forbedret regnekunsten. Det der i størst grad har drevet udviklingen af regnekunsten har været forskellige højkulturers forsøg på at forklare forskellige naturlige fænomener, men hvis vi kigger tilbage - helt tilbage - så er det klart hvorfor det blev nødvendigt med tal i deres forskellige former:
Den første type tal, der formentlig er blevet benyttet, er de naturlige tal, eller tælletallene. Tælletallene hedder sådan, fordi det er de tal man kan bruge til at tælle. Deres mængde udgøres af hele og positive tal.
Det er klart, at oldtidens bondemand har haft et naturligt behov for at kunne formidle til andre hvor mange får han var i besiddelse af, og det kan han ved hjælp af et talsystem som de naturlige tal.
De naturlige tal er stabile overfor addition og multiplikation på den måde forstået, at summen eller produktet af to naturlige tal altid ligger indenfor de naturlige tals mængde. Denne begrænsede stabilitet sikrer imidlertid ikke at alle regneoperationer kan finde sted indenfor de naturlige tal. F.eks. findes der ikke indenfor de naturlige tal en løsning til ligningen 5 + x = 3 da -2 ikke er en størrelse der hører til i de naturlige tals mængde. For at denne operation kan finde sted, må man udvide tallenes mængde, hvorved man får den næste talmængde:
De Hele Tal udgøres af alle hele tal, både positive, negative og 0. Ved at udvide talsystemet sådan, bliver det muligt at løse alle ligninger af typen a + x = b. Denne talgruppe er altså fuldstændig stabil overfor addition (og deraf selvfølgelig subtraktion). Dog får man stadig voldsomt besvær ved nogle multiplikative problemstillinger; fire personer har delt tre kager, hvor meget fik hver person? Det kan man ikke svare på, i hvert fald ikke indenfor de hele tals mængde. Derfor følger det også helt logisk hvad der må forventes af næste talsystem: Det skal være stabilt overfor multiplikation!
Den næste udvidelse, de rationale tal, dækker over alle de tal der kan skrives som en brøk med et helt tal som både tæller og nævner. Med denne udvidelse er det muligt at løse alle ligninger af formen a * x = b, såfremt vi aftaler at a ikke er 0. Næsten alle praktiske regneopgaver kan løses indenfor de rationale tal, og computere, lommeregnere og deslige benytter sig kun af en lille del af rationale tal, nemlig de tal der kan skrives som en decimalbrøk med et endeligt antal betydende cifre.
De reelle tal, den sidste almenkendte udvidelse af talsystemet, udgøres af alle tal på tallinjen, også de såkaldte irrationelle tal, altså de tal som ikke kan skrives som en brøk (pi, kvadratrod to, fi...) . Dermed har vi fyldt hele tallinjen ud, og man skulle ikke tro at der var plads til flere tal.
For at kunne løse alle ligninger hvor x i anden = a
må det være nødvendigt at arbejde indenfor de reelle tal, for eksempel når man skal løse ligningen
x i anden = 2.
Man fristes til at tro, at når man har udfyldt hele tallinien, så er man færdig med at opdage nye tal, men dette er langt fra sandt. Dog har jeg i bloggens formål udtalt at den skal beskæftige sig med materiale til og med 3.g (A niveau), og de næste udvidelser ligger udenfor dette område. Hvis der er interesse for det (Hvis nogen beder om det i kommentarerne), kan jeg godt skrive et tillæg til denne post, der omhandler de komplekse tal.
Næste gang du sidder og regner opgaver igennem, så kan du jo prøve at overveje hvilken talmængde du benytter dig af! Klarer du dig med de hele tal, eller de rationale tal, eller arbejder du oppe i de reelle tals sfære?
//Seruvious